Question

11．設(shè)函數(shù)g（x）=x²-（m-2）x+m-2，若|g（x）|在[$\frac{1}{2}$，2]上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 先確定g（x）圖象的對(duì)稱軸，再分兩類討論，即①區(qū)間[$\frac{1}{2}$，2]在對(duì)稱軸的右側(cè)，②區(qū)間[$\frac{1}{2}$，2]在對(duì)稱軸的左側(cè)，再綜合得出結(jié)果．

解答 解：g（x）=x²-（m-2）x+m-2的圖象為拋物線，對(duì)稱軸為x=$\frac{m-2}{2}$，
|g（x）|在[$\frac{1}{2}$，2]上是增函數(shù)有兩種情況，
①區(qū)間[$\frac{1}{2}$，2]在對(duì)稱軸的右側(cè)，且g（$\frac{1}{2}$）≥0，
即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{m-2}{2}≤\frac{1}{2}}\\{g（\frac{1}{2}）≥0}\end{array}\right.$，解得，m∈[$\frac{3}{2}$，3]；
②區(qū)間[$\frac{1}{2}$，2]在對(duì)稱軸的左側(cè)，且g（$\frac{1}{2}$）≤0，
即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{m-2}{2}≥2}\\{g（\frac{1}{2}）≤0}\end{array}\right.$，無解，
綜合以上討論得，實(shí)數(shù)m的取值范圍為：[$\frac{3}{2}$，3]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間的判斷和確定，涉及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合與分類討論的解題思想，屬于中檔題．