Question

14．設(shè)橢圓M：$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（b＞0）的焦點(diǎn)在x軸上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過橢圓右焦點(diǎn)垂直于x軸的直線，交橢圓于點(diǎn)A、B，S_△AOB=$\frac{2}{5}$$\sqrt{5}$．
（I）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）動(dòng)直線l交橢圓M于不同的兩點(diǎn)C，D，若以|CD|為直徑的圓過原點(diǎn)O，
（i）求線段|CD|的取值范圍；
（ii）證明：直線l與定圓N相切．

Answer 1

分析 （I）把x=c代入橢圓方程可得：$\frac{{c}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，解得y=±$\frac{^{2}}{\sqrt{5}}$，可得S_△AOB=$\frac{2}{5}$$\sqrt{5}$=$\frac{1}{2}c×\frac{2^{2}}{\sqrt{5}}$，化為b²c=2，又b²+c²=5，聯(lián)立解出即可得出．
（II）（i）當(dāng)直線OC的斜率不存在或斜率為0時(shí)，可得|CD|=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{6}$．當(dāng)直線OC的斜率存在時(shí)，設(shè)直線OC的方程為y=kx（k≠0），直線OD的方程為：y=-$\frac{1}{k}$x聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{x}^{2}+5{y}^{2}=5}\end{array}\right.$，解得x²，y²．可得|OC|²=x²+y²=$\frac{5+5{k}^{2}}{1+5{k}^{2}}$．同理可得|OD|²=$\frac{5+5{k}^{2}}{5+{k}^{2}}$．可得|CD|²=|OC|²+|OD|²，求得最小值，即可得出范圍．
（ii）設(shè)原點(diǎn)O到直線l的距離為d，當(dāng)k≠0或斜率k存在時(shí)，利用面積相等可得$\frac{1}{2}|OC||OD|$=$\frac{1}{2}d|CD|$，即可得出．當(dāng)k=0或斜率k不存在時(shí)同樣成立．

解答 （I）解：把x=c代入橢圓方程可得：$\frac{{c}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，解得y=±$\frac{^{2}}{\sqrt{5}}$，
∴S_△AOB=$\frac{2}{5}$$\sqrt{5}$=$\frac{1}{2}c×\frac{2^{2}}{\sqrt{5}}$，化為b²c=2，又b²+c²=5，
解得b=1，c=2，
∴橢圓M的方程是$\frac{{x}^{2}}{5}+{y}^{2}$=1．
（II）（i）解：當(dāng)直線OC的斜率不存在或斜率為0時(shí)，可得|CD|=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{6}$．
當(dāng)直線OC的斜率存在時(shí)，
設(shè)直線OC的方程為y=kx（k≠0），直線OD的方程為：y=-$\frac{1}{k}$x
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{x}^{2}+5{y}^{2}=5}\end{array}\right.$，解得x²=$\frac{5}{1+5{k}^{2}}$，y²=$\frac{5{k}^{2}}{1+5{k}^{2}}$．
∴|OC|²=x²+y²=$\frac{5+5{k}^{2}}{1+5{k}^{2}}$．
同理可得|OD|²=$\frac{5+5{k}^{2}}{5+{k}^{2}}$．
∴|CD|²=|OC|²+|OD|²=$\frac{5+5{k}^{2}}{1+5{k}^{2}}$+$\frac{5+5{k}^{2}}{5+{k}^{2}}$=$\frac{30（1+{k}^{2}）^{2}}{5{k}^{4}+26{k}^{2}+5}$=$\frac{30}{5+\frac{16}{{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}+2}}$≥$\frac{10}{3}$，當(dāng)k²=1時(shí)取等號(hào)．
∴$|CD|≥\frac{\sqrt{30}}{3}$．
綜上可得：$\frac{\sqrt{30}}{3}$≤|CD|≤$\sqrt{6}$．
（ii）設(shè)原點(diǎn)O到直線l的距離為d，當(dāng)k≠0或斜率k存在時(shí)，
∵$\frac{1}{2}|OC||OD|$=$\frac{1}{2}d|CD|$，
∴$\sqrt{\frac{5+5{k}^{2}}{1+5{k}^{2}}}$•$\sqrt{\frac{5+5{k}^{2}}{5+{k}^{2}}}$=d$\sqrt{\frac{30（1+{k}^{2}）^{2}}{5{k}^{4}+26{k}^{2}+5}}$，
d=$\frac{\sqrt{30}}{6}$．
當(dāng)k=0或斜率k不存在時(shí)也成立，
∴直線l與定圓N：x²+y²=$\frac{5}{6}$相切．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長(zhǎng)問題、勾股定理、直角三角形的面積、基本不等式的性質(zhì)，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．