19.已知α是第二象限角,且$sinα=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$,
(Ⅰ)求cos2α的值;
(Ⅱ)求$sin(α+\frac{π}{6})$的值.

分析 (Ⅰ)由條件利用二倍角的余弦公式求得cos2α的值.
(Ⅱ)利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得cosα的值,再利用兩角和的正弦公式求得$sin(α+\frac{π}{6})$的值.

解答 (Ⅰ)因為α是第二象限角,$sinα=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$,
所以,$cos2α=1-2{sin^2}α=1-2×\frac{15}{16}=-\frac{7}{8}$.
(Ⅱ)又α是第二象限角,故$cosα=-\sqrt{1-\frac{15}{16}}=-\frac{1}{4}$.
所以$sin(α+\frac{π}{6})=\frac{{\sqrt{15}}}{4}\frac{{\sqrt{3}}}{2}+(-\frac{1}{4})\frac{1}{2}=\frac{{3\sqrt{5}-1}}{8}$.

點評 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,二倍角公式、兩角和的三角公式的應(yīng)用,以及三角函數(shù)在各個象限中的符號,屬于基礎(chǔ)題.

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