Question

19．已知α是第二象限角，且$sinα=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，
（Ⅰ）求cos2α的值；
（Ⅱ）求$sin（α+\frac{π}{6}）$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由條件利用二倍角的余弦公式求得cos2α的值．
（Ⅱ）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得cosα的值，再利用兩角和的正弦公式求得$sin（α+\frac{π}{6}）$的值．

解答 （Ⅰ）因為α是第二象限角，$sinα=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，
所以，$cos2α=1-2{sin^2}α=1-2×\frac{15}{16}=-\frac{7}{8}$．
（Ⅱ）又α是第二象限角，故$cosα=-\sqrt{1-\frac{15}{16}}=-\frac{1}{4}$．
所以$sin（α+\frac{π}{6}）=\frac{{\sqrt{15}}}{4}\frac{{\sqrt{3}}}{2}+（-\frac{1}{4}）\frac{1}{2}=\frac{{3\sqrt{5}-1}}{8}$．

點評 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角公式、兩角和的三角公式的應(yīng)用，以及三角函數(shù)在各個象限中的符號，屬于基礎(chǔ)題．