9.已知向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為30°,且|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{3}$,|$\overrightarrow$|=1.
(1)求|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|和|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|的值;
(2)求兩向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$的夾角的余弦值.

分析 (1)先利用數(shù)量積求出$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{|}^{2}、|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{|}^{2}$,開方后得答案;
(2)求出($\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$)•($\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$),結(jié)合(1)中的結(jié)果求得兩向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$的夾角的余弦值.

解答 解:(1)∵向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為30°,且|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{3}$,|$\overrightarrow$|=1,
∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{|}^{2}=|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{|}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$3+1+2×\sqrt{3}×1×cos30°$=$4+2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=5$,
則|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{5}$;
$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{|}^{2}=|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{|}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$3+1-2×\sqrt{3}×1×cos30°$=4$-2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=1$,
則|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=1;
(2)$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow)•(\overrightarrow{a}-\overrightarrow)$=$|\overrightarrow{a}{|}^{2}-|\overrightarrow{|}^{2}=3-1=2$.
由(1)知|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=5,|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=1.
∴兩向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$的夾角θ的余弦值cosθ=$\frac{(\overrightarrow{a}+\overrightarrow)•(\overrightarrow{a}-\overrightarrow)}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow||\overrightarrow{a}-\overrightarrow|}=\frac{2}{5×1}=\frac{2}{5}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算,訓(xùn)練了由數(shù)量積求兩向量的夾角的方法,是中檔題.

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