Question

3．已知雙曲線$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為$\sqrt{2}$，且雙曲線與拋物線x²=-4$\sqrt{3}$y的準(zhǔn)線交于A，B，S_△OAB=$\sqrt{3}$，則雙曲線的實(shí)軸長2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)拋物線方程求得準(zhǔn)線方程，利用三角形的面積，求得A，B坐標(biāo)，結(jié)合離心率，即可求出2a．

解答 解：設(shè)A（x，y）．
依題意知拋物線x²=-4$\sqrt{3}$y的準(zhǔn)線y=$\sqrt{3}$．S_△OAB=$\sqrt{3}$，$xy=\sqrt{3}$，解得x=1，A（1，$\sqrt{3}$）．
代入雙曲線$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}$=1得
$\frac{3}{{a}^{2}}-\frac{1}{^{2}}=1$，…①
雙曲線$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為$\sqrt{2}$，
可得：$\frac{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}{a}=\sqrt{2}$，…②，
解①②可得：a=$\sqrt{2}$．
2a=2$\sqrt{2}$．
雙曲線的實(shí)軸長2$\sqrt{2}$．
故答案為：$2\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了拋物線以及雙曲線的簡單性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是通過三角形求出A、B的坐標(biāo)，是解題的關(guān)鍵．