Question

11．設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓x²+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（0＜b＜1）的左，右焦點，過F₁的直線L與橢圓相交于A，B兩點，|AB|=$\frac{4}{3}$，直線L的斜率為1，則b的值為（　�。�

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 通過橢圓方程可知F₁（-$\sqrt{1-^{2}}$，0）、F₂（$\sqrt{1-^{2}}$，0），通過過F₁的直線L的斜率為1可知其方程為y=x+$\sqrt{1-^{2}}$，聯(lián)立直線L與橢圓方程，利用兩點間距離公式計算即得結(jié)論．

解答 解：依題意，F(xiàn)₁（-$\sqrt{1-^{2}}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{1-^{2}}$，0），
∵過F₁的直線L的斜率為1，
∴直線L的方程為：y=x+$\sqrt{1-^{2}}$，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立直線L與橢圓方程，消去y整理得：
（1+b²）x²+$2\sqrt{1-^{2}}$x+1-2b²=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{2\sqrt{1-^{2}}}{1+^{2}}$，x₁x₂=$\frac{1-2^{2}}{1+^{2}}$，
∴|AB|=$\frac{4}{3}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{2}•$$\sqrt{\frac{4（1-^{2}）-4（1-2^{2}）}{（1+^{2}）^{2}}}$
=$\frac{2\sqrt{2}b}{1+^{2}}$，
解得：b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故選：D．

點評 本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．