Question

14．已知等比數(shù)列{a_n}的公比q＞1，前n項和為S_n，S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4成等差數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足關系式b_n（3n-5）=b_n-1（3n-2）其中n≥2，n∈N⁺，且b₁=1．
（1）求數(shù)列{a_n}及{b_n}的通項公式；
（2）設A={a₁，a₂，…a₁₀}，B={b₁，b₂，…b₅₀}，C=A∪B，求集合C中所有元素之和．

Answer 1

分析 （1）由條件利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義和性質求出首項和公差、公比，從而求得數(shù)列{a_n}及{b_n}的通項公式．
（2）喲條件利用前n項和公式求得等比數(shù)列{a_n}的前10項和S₁₀、等差數(shù)列{b_n}前50項和 T₅₀ 的值，再求得A與B的公共元素的和，從而求得集合C中所有元素之和．

解答 解：（1）因為S₃=7，∴a₁+a₂ +a₃=7．
因為a₁+3，3a₂，a₃+4成等差數(shù)列，所以，a₁+3，+a₃+4=6a₂ ，求得a₂ =a₁•q=2 ①．
又由a₁+a₂ +a₃=7得a₁ +a₁•q²=5 ②，
由①②可得 2q²-5q+2=0，解得q=2，或q=$\frac{1}{2}$（舍去），∴a₁=1，a_n =2^n-1．
另由于{bn}滿足關系式b_n（3n-5）=b_n-1（3n-2），即 $\frac{_{n}}{_{n-1}}$=$\frac{3n-2}{3n-5}$．
所以由累乘法得 $\frac{_{n}}{_{1}}$=3n-2，而b₁=1，所以 b_n=3n-2 （n≥2），當n=1時也滿足，
故b_n=3n-2．
（2）等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，則 S₁₀=$\frac{1{-2}^{10}}{1-2}$=1023．
等差數(shù)列{b_n}前n項和為T_n，則 T₅₀=$\frac{50×（1+148）}{2}$=3725，
因為A與B的公共元素有1，4，16，64，其和為85，
所以集合C中所有元素之和為1023+3725-85=4663．

點評 本題主要考查等差數(shù)列及等比數(shù)列的定義、性質、通項公式，前n項和公式的應用，體現(xiàn)了轉化的數(shù)學思想，屬于中檔題．