Question

如圖：已知圓C₁：（x+3）²+（y-1）²=4與圓C₂：（x-4）²+（y-5）²=4．
（1）若直線l過(guò)點(diǎn)A（4，0），且被圓C₁截得的弦長(zhǎng)為2

3

，求直線l的方程；
（2）試問(wèn)x軸上是否存在點(diǎn)P使得|PC₁|=

2

|PC₂|，若存在，則求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：圓方程的綜合應(yīng)用

專題：直線與圓

分析：（1）根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系，求出圓心到直線的距離，結(jié)合距離公式即可求出直線l的方程；
（2）設(shè)出P的坐標(biāo)，利用條件方程，解一元二次方程即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）圓C₁：（x+3）²+（y-1）²=4的圓心為（-3，1），半徑r=2，
設(shè)直線l的斜率為k，則直線方程為y=k（x-4），則kx-y-4k=0，
∵被圓C₁截得的弦長(zhǎng)為2

3

，
∴圓心到直線l的距離d=

22-( 3 )2

=

4-3

=1，
即d=

|-3k-1-4k|

1+k2

=

|7k+1|

1+k2

=1，
即（7k+1）²=1+k²，
則48k²+12k=0，解得k=0或k=-

7

24

，
即直線l的方程為y=0或y=-

7

24

（x-4）．
（2）設(shè)P（a，0），圓C₂：（x-4）²+（y-5）²=4的圓心為（4，5），
則由|PC₁|=

2

|PC₂|，
得

(a+3)2+1

=

2

•

(a-4)2+25

，
即（a+3）²+1=2（a-4）²+50，
整理得a²-22a+72=0，
即（a-4）（a-18）=0，
解得a=4或a=18，
即P（4，0）或P（18，0），
即存在點(diǎn)P使得|PC₁|=

2

|PC₂|，其中P（4，0）或P（18，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查一元二次方程的求解，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．