Question

18．已知三棱錐P-ABC的頂點P在平面ABC內(nèi)的射影為點H，側(cè)棱PA=PB=PC，點O為三棱錐P-ABC的外接球O的球心，AB=8，AC=6，已知$\overrightarrow{AO}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}+\frac{1}{1+\sqrt{5}}\overrightarrow{HP}$，且μ+2λ=1，則球O的表面積為81π．

Answer 1

分析 確定球心在PH上，由PH⊥AB，PH⊥AC，則$\overrightarrow{HP}$•$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{HP}$•$\overrightarrow{AC}$=0，對$\overrightarrow{AO}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}+\frac{1}{1+\sqrt{5}}\overrightarrow{HP}$，兩邊取點乘向量AB，向量AC，向量AH，以及兩邊平方，運用向量的數(shù)量積的性質(zhì)，計算即可得到半徑R，再由球的表面積公式計算即可得到．

解答 解：由于三棱錐P-ABC的頂點P在平面ABC內(nèi)的射影為點H，
O為球心，OA=OB=OC=OP=R，
即有PH⊥AB，PH⊥AC，
$\overrightarrow{HP}$•$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{HP}$•$\overrightarrow{AC}$=0，
由$\overrightarrow{AO}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}+\frac{1}{1+\sqrt{5}}\overrightarrow{HP}$，①
則有$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AB}$=$λ{\overrightarrow{AB}}^{2}$+$μ\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{1+\sqrt{5}}\overrightarrow{HP}•\overrightarrow{AB}$，
即有|$\overrightarrow{AB}$|•$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|=$λ{\overrightarrow{AB}}^{2}$+$μ\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$，
即32=64λ+$μ\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$，②
同理對①兩邊取點乘$\overrightarrow{AC}$，可得
18=36μ+λ$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$，③
又μ+2λ=1④
由②③④解得，λ=$\frac{9}{20}$（$\frac{1}{2}$舍去），μ=$\frac{1}{10}$，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=32，
即有$\overrightarrow{AO}$=$\frac{9}{20}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{10}$$\overrightarrow{AC}$+$\frac{1}{1+\sqrt{5}}$$\overrightarrow{HP}$．
即有$\overrightarrow{AO}$$•\overrightarrow{AH}$=$\frac{9}{20}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AH}$+$\frac{1}{10}$$\overrightarrow{AC}$$•\overrightarrow{AH}$+$\frac{1}{1+\sqrt{5}}$$\overrightarrow{HP}$$•\overrightarrow{AH}$，
即為AH²=$\frac{9}{20}$×32+$\frac{1}{10}$×18=$\frac{81}{5}$，
又$\overrightarrow{AO}$²=（$\frac{9}{20}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{10}$$\overrightarrow{AC}$+$\frac{1}{1+\sqrt{5}}$$\overrightarrow{HP}$）²，
即R²=$\frac{81}{400}$×64+$\frac{1}{100}$×36+（$\frac{1}{1+\sqrt{5}}$）²HP²+2×$\frac{9}{200}$×$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$
=$\frac{81}{5}$+（$\frac{1}{1+\sqrt{5}}$）²HP²，⑤
又在直角三角形AOH中，
R²=（HP-R）²+AH²，即有HP²-2HP•R+$\frac{81}{5}$=0，
即為（HP-R）²=R²-$\frac{81}{5}$⑥
由⑤⑥解得R=$\frac{9}{2}$，
則有球O的表面積S=4πR²=81π．
故答案為：81π．

點評 本題考查球的表面積的求法，關鍵是求得球的半徑，同時考查向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，通過兩邊取點乘和兩邊平方法，是解題的重點，具有一定的運算量，屬于難題．