Question

14．已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和為S_n，滿足4S_n=（a_n+1）²．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$（n∈N^*），求證：b₁+b₂+…+b_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由數(shù)列遞推式求出數(shù)列首項(xiàng)，取n=n+1得另一遞推式，作差后可得{a_n}是等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案；
（Ⅱ）把數(shù)列{a_n}通項(xiàng)公式代入b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，由裂項(xiàng)相消法求和后即可證明b₁+b₂+…+b_n＜$\frac{1}{2}$．

解答 （Ⅰ）解：由4S_n=（a_n+1）²，
令n=1，得$4{S}_{1}={4a}_{1}=（{a}_{1}+1）^{2}$，即a₁=1，
又4S_n+1=（a_n+1+1）²，
∴$4{a}_{n+1}=（{a}_{n+1}+1）^{2}-（{a}_{n}+1）^{2}$，整理得：（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0．
∵a_n＞0，∴a_n+1-a_n=2，則{a_n}是等差數(shù)列，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可知，b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$，
則b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+…+\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）＜\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，是中檔題．