Question

若△ABC 的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，面積為s．則△ABC的內(nèi)切圓半徑 r=

2s

a+b+c

；類似的，若四面體ABCD的四個(gè)面的面積分別為s₁，s₂，s₃，s₄，體積為V，則四面體ABCD的內(nèi)切球半徑r為（　�。�

• A、

  3v

  s1s2s3s4

• B、

  3v

  s1+s2+s3+s4

• C、

  2v

  s1+s2+s3+s4

• D、

  2v

  s1s2s3s4

Answer 1

考點(diǎn)：類比推理

專題：推理和證明

分析：根據(jù)平面與空間之間的類比推理，由點(diǎn)類比點(diǎn)或直線，由直線 類比 直線或平面，由內(nèi)切圓類比內(nèi)切球，由平面圖形面積類比立體圖形的體積，結(jié)合求三角形的面積的方法類比求四面體的體積即可．

解答： 解：由線段長(zhǎng)度類比面積，面積類比到體積，即一維類比到二維，二維到三維，
若△ABC 的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，面積為s．則△ABC的內(nèi)切圓半徑 r=

2s

a+b+c

；類似的，若四面體ABCD的四個(gè)面的面積分別為s₁，s₂，s₃，s₄，體積為V，則四面體ABCD的內(nèi)切球半徑r為

3v

s1+s2+s3+s4

．
證明如下：
設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為O，
則球心O到四個(gè)面的距離都是R，
所以四面體的體積等于以O(shè)為頂點(diǎn)，
分別以四個(gè)面為底面的4個(gè)三棱錐體積的和．
則四面體的體積為 V_{四面體A-BCD}=

1

3

（S₁+S₂+S₃+S₄）r，
∴r=

3v

s1+s2+s3+s4

故選：B．

點(diǎn)評(píng)：類比推理是指依據(jù)兩類數(shù)學(xué)對(duì)象的相似性，將已知的一類數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)類比遷移到另一類數(shù)學(xué)對(duì)象上去．一般步驟：①找出兩類事物之間的相似性或者一致性．②用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（或猜想）．