Question

19．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=5cosφ}\\{y=3sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=4-2t}\\{y=3-t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（I）求C與l的方程；
（Ⅱ）求過(guò)C的右焦點(diǎn)，且平行l(wèi)的直線方程．

Answer 1

分析 （I）消去參數(shù)φ可得橢圓方程為$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$；
（II）同理可得直線l的方程為x-2y+2=0，斜率為$\frac{1}{2}$，由（I）可得橢圓C的右焦點(diǎn)為（4，0），可得點(diǎn)斜式方程，化為一般式即可．

解答 解：（I）∵橢圓C的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=5cosφ}\\{y=3sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），
∴cosφ=$\frac{x}{5}$，sinφ=$\frac{y}{3}$，∵cos²φ+sin²φ=1，
∴（$\frac{x}{5}$）²+（$\frac{y}{3}$）²=1，即$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$；
（II）同理消去參數(shù)t可得直線l的方程為：x-2y+2=0，l的斜率為$\frac{1}{2}$，
由（I）可得橢圓C的右焦點(diǎn)為（4，0），
∴所求直線方程為y=$\frac{1}{2}$（x-4），即x-2y-4=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的參數(shù)方程，涉及直線的方程的求解，屬基礎(chǔ)題．