Question

12．記f（x）=|log₂（ax）|在x∈[$\frac{1}{2}$，8]時的最大值為g（a），則g（a）的最小值為（　�。�

• A． $\frac{3}{2}$
• B． 2
• C． $\frac{5}{2}$
• D． 4

Answer 1

分析 對a討論，當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{2}$時，當(dāng)$\frac{1}{2}$≤a＜1時，當(dāng)1≤a＜$\sqrt{2}$時，當(dāng)a≥$\sqrt{2}$時，通過圖象，比較f（$\frac{1}{2}$）和f（2）的大小，求得M（a）的范圍，即可得到最小值

解答 解：0＜a＜1的圖象如圖1
0＜a＜$\frac{1}{2}$時：f（$\frac{1}{2}$）=|log₂（$\frac{1}{2}$a）|=log₂$\frac{2}{a}$，
f（2）=log₂$\frac{1}{2a}$，f（$\frac{1}{2}$）＞f（2），
即有g(shù)（a）=log₂$\frac{2}{a}$∈（2，+∞），
當(dāng)$\frac{1}{2}$≤a＜1時，f（$\frac{1}{2}$）=|log₂（$\frac{1}{2}$a）|
=log₂$\frac{2}{a}$，f（2）=log₂（2a），f（$\frac{1}{2}$）＞f（2），
即有g(shù)（a）=log₂$\frac{2}{a}$∈（1，2]；

a≥1的圖象如圖2
當(dāng)1≤a＜$\sqrt{2}$時，f（$\frac{1}{2}$）=|log₂（$\frac{1}{2}$a）|
=log₂$\frac{2}{a}$，f（2）=log₂（2a），f（$\frac{1}{2}$）＞f（2），
即有g(shù)（a）=log₂$\frac{2}{a}$∈（$\frac{1}{2}$，1]；
當(dāng)a≥$\sqrt{2}$時，f（$\frac{1}{2}$）=|log₂（$\frac{1}{2}$a）|
=log₂$\frac{2}{a}$，f（2）=log₂（2a），f（$\frac{1}{2}$）＜f（2），
即有g(shù)（a）=log₂（2a）∈[$\frac{3}{2}$，+∞）．
綜上可得g（a）的范圍是[$\frac{1}{2}$，+∞）．
則M（a）的最小值為$\frac{1}{2}$．
故選：B．

點評 本題考查函數(shù)的最值的求法，考查對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，運用分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．