Question

9．某食品廠為了檢查甲乙兩條自動包裝流水線的生產情況，隨機在這兩條流水線上各抽取40件產品作為樣本稱出它們的重量（單位：克），重量值落在（495，510]的產品為合格品，否則為不合格品．圖1是甲流水線樣本的頻率分布直方圖，表1是乙流水線樣本頻數(shù)分布表．
表1：（乙流水線樣本頻數(shù)分布表）　

產品重量（克）	頻數(shù)
（490，495]	6
（495，500]	8
（500，505]	14
（505，510]	8
（510，515]	4

（Ⅰ）若以頻率作為概率，試估計從甲流水線上任取5件產品，求其中合格品的件數(shù)X的數(shù)學期望； （Ⅱ）從乙流水線樣本的不合格品中任意取x²+y²=2件，求其中超過合格品重量的件數(shù)l：y=kx-2的分布列；（Ⅲ）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下面$\frac{π}{2}$列聯(lián)表，并回答有多大的把握認為“產品的包裝質量與兩條資動包裝流水線的選擇有關”．

	甲流水線	乙流水線	合計
合格品	a=	b=
不合格品	c=	d=
合　計			n=

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

附：下面的臨界值表供參考：
（參考公式：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d）

Answer 1

分析 （Ⅰ）計算甲樣本中合格品數(shù)與頻率，利用獨立重復試驗的概率公式計算EX的值；
（Ⅱ）計算乙流水線樣本中不合格品數(shù)，求出Y的可能取值，寫出Y的分布列；
（Ⅲ）填寫2×2列聯(lián)表，計算K²，對照臨界值表得出結論．

解答 解：（Ⅰ）由圖1知，甲樣本中合格品數(shù)為（0.06+0.09+0.03）×5×40=36，
∴合格品的頻率為$\frac{36}{40}$=0.9，
由此可估計從甲流水線上任取一件產品，該產品為合格品的概率為P=0.9；
則X～B（5，0.9），
∴EX=5×0.9=4.5；
（Ⅱ）由表1知乙流水線樣本中不合格品共10個，超過合格品重量的有4件，
則Y的取值為0，1，2；
且$P（Y=k）=\frac{{C_4^k•C_6^{2-k}}}{{C_{10}^2}}\;\;\;（k=0，1，2）$，
于是有：$P（Y=0）=\frac{1}{3}\;，\;\;\;P（Y=1）=\frac{8}{15}\;，\;P（Y=2）=\frac{2}{15}$；
∴Y的分布列為

Y	0	1	2
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{2}{15}$

（Ⅲ）2×2列聯(lián)表如下：

	甲流水線	乙流水線	合計
合格品	a=36	b=30	66
不合格品	c=4	d=10	14
合　計	40	40	n=80

計算${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$=$\frac{{80×{{（360-120）}^2}}}{66×14×40×40}≈3.117$＞2.706，
∴有90%的把握認為產品的包裝質量與兩條自動包裝流水線的選擇有關．

點評 本題考查了頻率分布直方圖與獨立性檢驗的應用問題，是基礎題目．