Question

17．過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)作與x軸垂直的直線l，直線l與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，與雙曲線的漸近線交于C，D兩點(diǎn)，若3|AB|=2|CD|，則雙曲線的離心率為$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 建立方程組求出交點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)，建立方程關(guān)系，進(jìn)行求解即可．

解答 解：不妨設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)F（c，0），
當(dāng)x=c時(shí)，$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，得$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-1=$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，
則y²=$\frac{^{4}}{{a}^{2}}$，則y=±$\frac{^{2}}{a}$，
則A（c，$\frac{^{2}}{a}$），B（c，-$\frac{^{2}}{a}$），
則|AB|=$\frac{2^{2}}{a}$，
雙曲線的漸近線為y=±$\frac{a}$x
則當(dāng)x=c時(shí)，y=±$\frac{a}$•c=±$\frac{bc}{a}$
設(shè)C（c，$\frac{bc}{a}$），D（c，-$\frac{bc}{a}$），
則|CD|=$\frac{2bc}{a}$，
若3|AB|=2|CD|，
則3×$\frac{2^{2}}{a}$=2×$\frac{2bc}{a}$，
即3b=2c，
則b=$\frac{2}{3}$c，
b²=$\frac{4}{9}$c²=c²-a²，
即$\frac{5}{9}$c²=a²，
即e²=$\frac{9}{5}$，
則e=$\sqrt{\frac{9}{5}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
故答案為：$\frac{3\sqrt{5}}{5}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線離心率的計(jì)算，根據(jù)條件建立方程關(guān)系求出交點(diǎn)坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的計(jì)算能力．