Question

7．設(shè)函數(shù)f （x）=2sinxcos²$\frac{φ}{2}$+cosxsinφ-sinx（0＜φ＜π） 在x=π處取最小值．
（1）求φ的值；
（2）若f（2x+$\frac{π}{3}$）=m在[0，π]有兩個(gè)解x₁，x₂，求m的取值范圍，并求相應(yīng)的x₁+x₂的值．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式降冪，再由輔助角公式化積，結(jié)合f（π）=-1求得φ值；
（2）由（1）求得f（x）的解析式，得到f（2x+$\frac{π}{3}$）的解析式并畫出圖形，數(shù)形結(jié)合得答案．

解答 解：（1）f （x）=2sinxcos²$\frac{φ}{2}$+cosxsinφ-sinx=（2cos²$\frac{φ}{2}$-1）sinx+cosxsinφ
=sinxcosφ+cosxsinφ=sin（x+φ）．
由f（π）=sin（π+φ）=-1，得φ=$\frac{π}{2}$；
（2）由（1）知f（x）=sin（x+$\frac{π}{2}$）=cosx．
則f（2x+$\frac{π}{3}$）=cos（2x+$\frac{π}{3}$），
由f（2x+$\frac{π}{3}$）=m在[0，π]有兩個(gè)解x₁，x₂，
得cos（2x+$\frac{π}{3}$）=m在[0，π]有兩個(gè)解x₁，x₂，
∵x∈[0，π]，∴2x$+\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}，\frac{7π}{3}$]．
則cos（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-1，1]．
作出函數(shù)y=cos（2x+$\frac{π}{3}$）的圖象如圖：
由圖可知，滿足f（2x+$\frac{π}{3}$）=m在[0，π]有兩個(gè)解x₁，x₂的m的取值范圍為（-1，$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，1），
當(dāng)m∈（-1，$\frac{1}{2}$）時(shí)，x₁+x₂=$\frac{2π}{3}$；
當(dāng)m∈（$\frac{1}{2}$，1）時(shí)，x₁+x₂=$\frac{5π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬中檔題．