Question

19．在Rt△ABF中，AB=2BF=4，C，E分別是AB，AF的中點（如圖1）．將此三角形沿CE對折，使平面AEC⊥平面BCEF（如圖2），已知D是AB的中點．

（1）求證：CD∥平面AEF；
（2）求證：平面AEF⊥平面ABF．

Answer 1

分析 （1）運用中位線定理和線面平行的判定定理，即可證得；
（2）由線面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理即可證得．

解答 證明：（1）取AF中點M，連結(jié)DM，EM，
∵D，M分別是AB，AF的中點
∴DM是△ABF的中位線，
∴DM平行且等于$\frac{1}{2}$BF且CE平行且等于$\frac{1}{2}$BF，
四邊形CDME是平行四邊形，∴CD∥EM，
又EM?面AEF且CD?面AEF
∴CD∥面AEF；
（2）證明：由左圖知CE⊥AC，CE⊥BC，
且右圖中：AC∩BC=C，∴CE⊥面ABC，又CD?面ABC
∴CE⊥CD，∴四邊形CDME為矩形，則EM⊥MD，
△AEF中EA=EF，M為AF的中點，
∴EM⊥AF，
∵AF∩MD=M，∴EM⊥面ABF，
又EM?面AEF，∴面AEF⊥面ABF．

點評 本題主要考查線面平行、垂直的判定和性質(zhì)，以及面面垂直的判定和性質(zhì)定理，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．