19.在Rt△ABF中,AB=2BF=4,C,E分別是AB,AF的中點(如圖1).將此三角形沿CE對折,使平面AEC⊥平面BCEF(如圖2),已知D是AB的中點.

(1)求證:CD∥平面AEF;
(2)求證:平面AEF⊥平面ABF.

分析 (1)運用中位線定理和線面平行的判定定理,即可證得;
(2)由線面垂直的判定定理,面面垂直的判定定理即可證得.

解答 證明:(1)取AF中點M,連結(jié)DM,EM,
∵D,M分別是AB,AF的中點
∴DM是△ABF的中位線,
∴DM平行且等于$\frac{1}{2}$BF且CE平行且等于$\frac{1}{2}$BF,
四邊形CDME是平行四邊形,∴CD∥EM,
又EM?面AEF且CD?面AEF
∴CD∥面AEF;
(2)證明:由左圖知CE⊥AC,CE⊥BC,
且右圖中:AC∩BC=C,∴CE⊥面ABC,又CD?面ABC
∴CE⊥CD,∴四邊形CDME為矩形,則EM⊥MD,
△AEF中EA=EF,M為AF的中點,
∴EM⊥AF,
∵AF∩MD=M,∴EM⊥面ABF,
又EM?面AEF,∴面AEF⊥面ABF.

點評 本題主要考查線面平行、垂直的判定和性質(zhì),以及面面垂直的判定和性質(zhì)定理,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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(1)若橢圓C2:$\frac{x^2}{16}+{\frac{y}{4}^2}$=1,判斷C2與C1是否相似?如果相似,求出C2與C1的相似比;如果不相似,請說明理由;
(2)寫出與橢圓C1相似且短半軸長為b的橢圓Cb的方程;若在橢圓Cb上存在兩點M、N關(guān)于直線y=x+1對稱,求實數(shù)b的取值范圍.

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4.已知函數(shù)f(x)=loga$\frac{λx-2}{x+2}$為奇函數(shù)(其中a>0且a≠1,λ為常數(shù)).
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(3)設(shè)φ(x)=loga$\frac{λx-2}{x+2}$是定義域[m,n]上的單調(diào)遞增減函數(shù),其值域為[logaa(n-1),logaa(m-1)],求a的取值范圍.

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11.已知函數(shù)$f(x)=\left\{\begin{array}{l}x+4,-3≤x≤0\\{x^2}-2x,0<x<4\\-x+2,4≤x≤5\end{array}\right.$,則f[f(f(2))]=( 。
A.2B.-2C.4D.0

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8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出$s=\frac{2015}{2016}$.那么判斷框內(nèi)應(yīng)填( 。
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其中所有正確命題的序號為( 。
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