Question

4．已知函數(shù)f（x）=log_a$\frac{λx-2}{x+2}$為奇函數(shù)（其中a＞0且a≠1，λ為常數(shù)）．
（1）求出λ的值；
（2）設(shè)g（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（$\frac{λx-2}{x+2}$•$\frac{1}{x-4}$）（x＞5），求g（x）的值域；
（3）設(shè)φ（x）=log_a$\frac{λx-2}{x+2}$是定義域[m，n]上的單調(diào)遞增減函數(shù)，其值域?yàn)閇log_aa（n-1），log_aa（m-1）]，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）直接運(yùn)用奇函數(shù)的定義，由f（-x）=-f（x）解得λ=1；
（2）先將函數(shù)化為g（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1}{（x-2）-\frac{8}{x-2}+2}$的性質(zhì)，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定其值域；
（3）分兩類討論，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)φ（x）單調(diào)遞減，當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)φ（x）單調(diào)遞增，再根據(jù)單調(diào)性確定相應(yīng)的等量關(guān)系，解出a的取值范圍．

解答 解：（1）因?yàn)閒（x）為奇函數(shù)，所以，f（-x）=-f（x），
即log_a$\frac{λx-2}{x+2}$=-log_a$\frac{-λx-2}{-x+2}$，所以，$\frac{λx-2}{x+2}$•$\frac{-λx-2}{-x+2}$=1，
整理得，（1-λ²）•x²=0，解得，λ=1（舍去-1），
即λ=1，此時(shí)f（x）=log_a$\frac{x-2}{x+2}$；
（2）由（1）得g（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$$\frac{x-2}{（x+2）（x-4）}$
=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$$\frac{x-2}{（x-2）^2+2（x-2）-8}$=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1}{（x-2）-\frac{8}{x-2}+2}$
當(dāng)x∈（5，+∞），x-2-$\frac{8}{x-2}$+2單調(diào)遞增，
∴x-2-$\frac{8}{x-2}$+2∈（$\frac{7}{3}$，+∞），則$\frac{1}{（x-2）-\frac{8}{x-2}+2}$∈（0，$\frac{3}{7}$），
所以，g（x）∈（log₂$\frac{7}{3}$，+∞），
即函數(shù)g（x）的值域?yàn)椋海╨og₂$\frac{7}{3}$，+∞）；
（3）因?yàn)棣眨▁）=log_a$\frac{x-2}{x+2}$=log_a（1-$\frac{4}{x+2}$），函數(shù)的定義域?yàn)椋海?∞，-2）∪（2，+∞），
①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，φ（x）在（-∞，-2），（2，+∞）都是單調(diào)遞減的，
所以，當(dāng)x∈[m，n]，φ（x）_min=g（n），φ（x）_max=g（m），
即φ（x）_min=log_a$\frac{n-2}{n+2}$=log_aa（n-1），φ（x）_max=log_a$\frac{m-2}{m+2}$=log_aa（m-1），
所以，an²+（a-1）n-2a+2=0，am²+（a-1）m-2a+2=0，
則m，n為方程ax²+（a-1）x-2a+2=0的兩個(gè)同號(hào)的實(shí)數(shù)根，
則$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{\frac{2-2a}{a}＞0}\\{（a-1）^2-4a（-2a+2）＞0}\end{array}\right.$，解得，0＜a＜$\frac{1}{9}$；
②當(dāng)a＞1時(shí)，φ（x）在（-∞，-2），（2，+∞）都是單調(diào)遞增的，
則φ（x）_min=log_a$\frac{m-2}{m+2}$=log_aa（n-1），φ（x）_max=log_a$\frac{n-2}{n+2}$=log_aa（m-1），
則m-2=a（n-1）（m+2），n-2=a（m-1）（n+2），
兩式相減并整理得，m-n=3a（n-m），m≠n，解得，a=-$\frac{1}{3}$（舍去）．
綜合以上討論得，實(shí)數(shù)a的取值范圍為：（0，$\frac{1}{9}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，以及運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的值域，體現(xiàn)了分類討論與數(shù)形結(jié)合的解題思想，屬于難題．