Question

13．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)M（3，4），其傾斜角為45°，圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=2+2sinθ\end{array}\right.（θ為參數(shù)）$．再以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，并使得它與直角坐標(biāo)系xoy有相同的長(zhǎng)度單位．
（1）求圓C的極坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)圓C與直線(xiàn)l交于點(diǎn)A、B，求|MA|•|MB|的值．

Answer 1

分析 （1）利用cos²θ+sin²θ=1消去參數(shù)可得圓的直角坐標(biāo)方程式，由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式代入化簡(jiǎn)即可得出．
（2）直線(xiàn)l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=3+tcos4{5}^{°}}\\{y=4+tsin4{5}^{°}}\end{array}\right.$，（t為參數(shù)），代入圓方程得：${t}^{2}+5\sqrt{2}t$+9=0，利用|MA|•|MB|=|t₁|•|t₂|=|t₁t₂|即可得出．

解答 解：（1）消去參數(shù)可得圓的直角坐標(biāo)方程式為x²+（y-2）²=4，
由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式得（ρcosθ）²+（ρsinθ-2）²=4化簡(jiǎn)得ρ=4sinθ，
（2）直線(xiàn)l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=3+tcos4{5}^{°}}\\{y=4+tsin4{5}^{°}}\end{array}\right.$，（t為參數(shù)）．
即$\left\{\begin{array}{l}x=3+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=4+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.（t為參數(shù)）$代入圓方程得：${t}^{2}+5\sqrt{2}t$+9=0，
設(shè)A、B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁、t₂，則${t_1}+{t_2}=5\sqrt{2}$，t₁t₂=9，
于是|MA|•|MB|=|t₁|•|t₂|=|t₁t₂|=9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線(xiàn)參數(shù)方程的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．