Question

14．已知直線l：y=k（x-1），橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，則當(dāng)k=$\sqrt{5}$時直線l與橢圓C的位置關(guān)系為相交．（填：相離，相切，相交，不確定）；若直線l和橢圓C相交時所得弦的中點橫坐標(biāo)為$\frac{3}{4}$，則k=$±\frac{\sqrt{6}}{2}$．

Answer 1

分析 由直線l：y=k（x-1）過定點（1，0）可知直線l與橢圓C的位置關(guān)系是相交；聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合中點坐標(biāo)公式求得k值．

解答 解：∵直線l：y=k（x-1）過定點（1，0），
∴當(dāng)k=$\sqrt{5}$時直線l與橢圓C的位置關(guān)系為相交；
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
設(shè)兩交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
由題意可得：$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}=2×\frac{3}{4}$，解得k=$±\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故答案為：相交；$±\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了直線恒過定點問題，訓(xùn)練了“設(shè)而不求”的解題思想方法，是中檔題．