Question

18．設(shè)函數(shù)f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+tan$\frac{5π}{6}$•cos2x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及其圖象的對稱軸方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，$\frac{π}{2}$）上的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用兩角和的正弦公式化簡解析式，由三角函數(shù)的周期公式求出f（x）的最小正周期，由正弦函數(shù)圖象的對稱軸方程，求出圖象的對稱軸方程；
（Ⅱ）由x的范圍求出$2x+\frac{π}{6}$的范圍，由正弦函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)f（x）的值域．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\frac{1}{2}$sin 2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos 2x-$\frac{\sqrt{3}}{3}$cos 2x=$\frac{1}{2}$sin 2x+$\frac{\sqrt{3}}{6}$cos 2x=$\frac{\sqrt{3}}{3}sin（2x+\frac{π}{6}）$…（3分）
所以f（x）的最小正周期為T=$\frac{2π}{2}$=π…..（4分）
令2x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），
得對稱軸方程為x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$（k∈Z）．…．（6分）
（Ⅱ）∵f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{3}sin（2x+\frac{π}{6}）$，$x∈（0，\frac{π}{2}）$，
∴2x∈（0，π），$2x+\frac{π}{6}∈（\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}）$…（8分）
則$sin（2x+\frac{π}{6}）∈（{-\frac{1}{2}，1}]$，$\frac{{\sqrt{3}}}{3}sin（2x+\frac{π}{6}）∈（{-\frac{{\sqrt{3}}}{6}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}]$…..（11分）
∴f（x）的值域為$（{-\frac{{\sqrt{3}}}{6}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}]$…..（12分）

點評 本題考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，兩角和的正弦公式，以及整體思想，考查化簡、變形能力．