Question

8．已知四邊形ABCD為梯形，AB∥DC，對角線AC，BD交于點O，CE⊥平面ABCD，CE=AD=DC=BC=1，∠ABC=60°，F(xiàn)為線段BE上的點，$\overrightarrow{EF}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{EB}$．
（I）證明：OF∥平面CED；
（Ⅱ）求平面ADF與平面BCE所成二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由余弦定理，求出AC=$\sqrt{3}$，AB=2，從而OF∥DE，由此能證明OF∥平面CED．
（Ⅱ）以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，CE為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面ADF與平面BCE所成二面角的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{EF}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{EB}$，∴FB=2EF，
又梯形ABCD中，AD=DC=BC=1，∠ABC=60°，
∴∠ADC=120°，
由余弦定理，得：AC=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}-2×1×1×cos120°}$=$\sqrt{3}$，
cos60°=$\frac{A{B}^{2}+{1}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}{2×AB×1}$，解得AB=2，
∵AB∥DC，∴$\frac{DO}{OB}=\frac{DC}{AB}=\frac{1}{2}=\frac{EF}{FB}$，∴OF∥DE，
又OF?平面CDE，DE?平面CDE，
∴OF∥平面CED．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知AC=$\sqrt{3}$，AB=2，
又BC=1，∴∠ACB=90°，∴AC⊥BC，
又CE⊥面ABCD，
∴以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，CE為z軸，建立空間直角坐標系，
則A（$\sqrt{3}$，0，0），B（0，1，0），E（0，0，1），D（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0），
$\overrightarrow{AD}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0），$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EF}$=$\overrightarrow{AE}+\frac{1}{3}\overrightarrow{EB}$=（-$\sqrt{3}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$），
設(shè)平面ADF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=-\frac{\sqrt{3}}{2}x-\frac{1}{2}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}=-\sqrt{3}x+\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$），
平面BCE的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{1}{\sqrt{1+3+12}}$=$\frac{1}{4}$，
∴平面ADF與平面BCE所成銳二面角的余弦值為$\frac{1}{4}$，
平面ADF與平面BCE所成鈍二面角的余弦值為-$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，注意向量法的合理運用．