Question

19．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，M，N分別為邊BC，CD上的動(dòng)點(diǎn)，且∠MAN=45°，則$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$的最小值為8（$\sqrt{2}$-1）．

Answer 1

分析 設(shè)∠BAM=θ，0＜θ＜$\frac{π}{4}$，分別由解直角三角形可得AM，AN的長(zhǎng)，再由向量的數(shù)量積的定義，結(jié)合三角函數(shù)的恒等變換公式，以及余弦函數(shù)的最值，即可得到所求最小值

解答 解：設(shè)∠BAM=θ，0＜θ＜$\frac{π}{4}$，
在直角△ABM中，AM=$\frac{2}{cosθ}$，
在直角△ADN中，AN=$\frac{2}{cos（\frac{π}{4}-θ）}$，
則$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=|$\overrightarrow{AM}$|•|$\overrightarrow{AN}$|cos$\frac{π}{4}$=$\frac{2\sqrt{2}}{cosθcos（\frac{π}{4}-θ）}$
=$\frac{4\sqrt{2}}{cos\frac{π}{4}+cos（2θ-\frac{π}{4}）}$=$\frac{4\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}+cos（2θ-\frac{π}{4}）}$，
當(dāng)2θ-$\frac{π}{4}$=0，即θ=$\frac{π}{8}$時(shí)，cos（2θ-$\frac{π}{4}$）取得最大值1，
則$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$的最小值為 $\frac{4\sqrt{2}}{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}$=8（$\sqrt{2}$-1）．
故答案為：8（$\sqrt{2}$-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積的定義，考查三角函數(shù)的最值的求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．