Question

20．定義R上的函敦f（x）滿足：對?x∈R均有f（x）+f′（x）＞0，則對正實(shí)數(shù)a必有（　�。�

• A． f（a）＞e^af（0）
• B． f（a）＜e^af（0）
• C． f（a）＜$\frac{f（0）}{{e}^{a}}$
• D． f（a）＞$\frac{f（0）}{{e}^{a}}$

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=e^xf（x），對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)g′（x）判定函數(shù)g（x）的單調(diào)性，從而得出結(jié)論．

解答 解：構(gòu)造函數(shù)g（x）=e^xf（x），
則g′（x）=e^x•f（x）+e^x•f′（x）=e^x（f（x）+f′（x））．
因?yàn)?x∈R，均有f（x）+f′（x）＞0，并且e^x＞0，
所以g′（x）＞0，故函數(shù)g（x）=e^xf（x）在R上單調(diào)遞增，
又a＞0，所以g（a）＞g（0），
即e^af（a）＞e⁰f（0），
也就是f（a）＞$\frac{f（0）}{{e}^{a}}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查了利用構(gòu)造函數(shù)法求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判定單調(diào)性問題，是綜合性題目．