Question

1．已知橢圓：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且經過點（-$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）點P是橢圓C上任一點，以P為圓心，|OP|的長為半徑的圓P與圓F：（x-$\sqrt{3}$）²+y²=5（F是圓心）的一個公共點為Q．證明：點Q到直線PF的距離為定值，并求此值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{1}{4^{2}}=1}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a，c，b即可得出．
（2）設P（s，t），則s²+4t²=4．以P為圓心，|OP|的長為半徑的圓P為：（x-s）²+（y-t）²=s²+t²，化為x²-2sx+y²-2ty=0，與圓F：（x-$\sqrt{3}$）²+y²=5，相減可得：$（2s-2\sqrt{3}）$x+2ty-2=0．即為兩圓的相交弦所在的直線．利用點到直線的距離公式可得：圓心F到此直線的距離d，可得點Q到直線PF的距離h=$\sqrt{5-huspw27^{2}}$，化簡即可證明．

解答 （1）解：由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{1}{4^{2}}=1}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，c=$\sqrt{3}$，b=1．
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
（2）證明：設P（s，t），則s²+4t²=4．
以P為圓心，|OP|的長為半徑的圓P為：（x-s）²+（y-t）²=s²+t²，化為x²-2sx+y²-2ty=0，
與圓F：（x-$\sqrt{3}$）²+y²=5，相減可得：$（2s-2\sqrt{3}）$x+2ty-2=0，即為兩圓的相交弦所在的直線．
則圓心F到此直線的距離d=$\frac{|（2s-2\sqrt{3}）×\sqrt{3}-2|}{\sqrt{（2s-2\sqrt{3}）^{2}+4{t}^{2}}}$，
∴點Q到直線PF的距離h=$\sqrt{5-1lt1kmt^{2}}$=$\sqrt{5-\frac{（2\sqrt{3}s-8）^{2}}{4{s}^{2}-8\sqrt{3}s+12+4{t}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{3{s}^{2}-8\sqrt{3}s+16}{3{s}^{2}-8\sqrt{3}s+16}}$=1，為定值．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、兩圓的相交弦長問題、點到直線的距離公式公式，考查了數形結合方法、推理能力與計算能力，屬于難題．