10.已知數(shù)列{an}滿足$\frac{1}{{a}_{1}}$$+\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$=n2+n,n∈N*
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=$\frac{1}{(\frac{1}{{a}_{n}})^{2}-1}$,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.

分析 (1)通過$\frac{1}{{a}_{1}}$$+\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$=n2+n與$\frac{1}{{a}_{1}}$$+\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=n2-n(n≥2)作差可知an=$\frac{1}{2n}$(n≥2),進(jìn)而檢驗(yàn)當(dāng)n=1時(shí)也滿足即可;
(2)通過(1)裂項(xiàng)可知bn=$\frac{1}{2}$($\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$),進(jìn)而并項(xiàng)相加即得結(jié)論.

解答 解:(1)∵$\frac{1}{{a}_{1}}$$+\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$=n2+n,
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$$+\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=(n-1)2+(n-1)=n2-n(n≥2),
兩式相減得:$\frac{1}{{a}_{n}}$=(n2+n)-(n2-n)=2n,即an=$\frac{1}{2n}$(n≥2),
又∵$\frac{1}{{a}_{1}}$=1+1=2,即a1=$\frac{1}{2}$滿足上式,
∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=$\frac{1}{2n}$;
(2)由(1)可知bn=$\frac{1}{(\frac{1}{{a}_{n}})^{2}-1}$=$\frac{1}{4{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{2}$($\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$),
∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為$\frac{1}{2}$(1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$)=$\frac{1}{2}$(1-$\frac{1}{2n+1}$)=$\frac{n}{2n+1}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和,考查裂項(xiàng)相消法,注意解題方法的積累,屬于中檔題.

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