Question

9．若直線y=-x+1與橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）相交于A，B兩點，且以AB為直徑的圓經(jīng)過點O（其中O為坐標原點）當橢圓C的離心率e$∈[\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}]$時橢圓C的長軸長的最大值是（　　）

• A． $\sqrt{10}$
• B． $\frac{\sqrt{10}}{2}$
• C． 3
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 設(shè)出點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$得出x₁x₂+y₁y₂=0；由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\\{y=-x+1}\end{array}\right.$，消去y得出（a²+b²）x²-2a²x+a²（1-b²）=0；利用根與系數(shù)的關(guān)系得x₁+x₂與x₁x₂，求出a、b、c與e的關(guān)系，再由e的范圍求出a的取值范圍，從而得出長軸長的最大值．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，
即x₁x₂+y₁y₂=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\\{y=-x+1}\end{array}\right.$，消去y得（a²+b²）x²-2a²x+a²（1-b²）=0，
由△=（-2a²）²-4a²（a²+b²）（1-b²）＞0，整理得a²+b²＞1；
∵x₁+x₂=$\frac{{2a}^{2}}{{a}^{2}{+b}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{a}^{2}（1{-b}^{2}）}{{a}^{2}{+b}^{2}}$，
∴y₁y₂=（-x₁+1）（-x₂+1）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，得：2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0，
∴$\frac{{2a}^{2}（1{-b}^{2}）}{{a}^{2}{+b}^{2}}$-$\frac{{2a}^{2}}{{a}^{2}{+b}^{2}}$+1=0，
整理得：a²+b²-2a²b²=0．
∴b²=a²-c²=a²-a²e²，代入上式得
2a²=1+$\frac{1}{1{-e}^{2}}$，∴a²=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{1{-e}^{2}}$），
∵$\frac{1}{2}$≤e≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{1}{4}$≤e²≤$\frac{3}{4}$，∴$\frac{1}{4}$≤1-e²≤$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{4}{3}$≤$\frac{1}{1{-e}^{2}}$≤4，∴$\frac{7}{3}$≤1+$\frac{1}{1{-e}^{2}}$≤5，
∴$\frac{7}{6}$≤a²≤$\frac{5}{2}$適合條件a²+b²＞1．
由此得$\frac{\sqrt{42}}{6}$≤a≤$\frac{\sqrt{10}}{2}$，∴$\frac{\sqrt{42}}{3}$≤2a≤$\sqrt{10}$，
故長軸長的最大值為$\sqrt{10}$．
故選：A．

點評 本題考查了直線與橢圓標準方程的應(yīng)用問題，也考查了平面向量與圓的應(yīng)用問題，考查了計算能力與邏輯推理能力，是綜合性題目．