Question

17．函數f（x）=x³-x²-x+m，（m∈R）
（1）求f（x）的極值；
（2）當m在什么范圍內取值時，曲線y=f（x）與直線y=1有三個不同的交點．

Answer 1

分析 （1）求f′（x），求f′（x）=0的實數根，從而根據f′（x）的符號即可求得f（x）的極大值和極小值；
（2）根據f（x）的單調性及極值，畫出f（x）的大致圖象，根據圖象即可求出使曲線y=f（x）與直線y=1有三個不同的交點的m的范圍．

解答 解：（1）f′（x）=3x²-2x-1；
令f′（x）=0得，x=$-\frac{1}{3}$，或1；
∴$x∈（-∞，-\frac{1}{3}）$時，f′（x）＞0，x∈$（-\frac{1}{3}，1）$時，f′（x）＜0，x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0；
∴x=$-\frac{1}{3}$時，f（x）取得極大值$\frac{5}{27}+m$；x=1時，f（x）取得極小值m-1；
（2）畫出f（x）和y=1的圖象如下：
由圖象可以看出，要使曲線y=f（x）與直線y=1有三個不同的交點，則：
f（x）的極大值$\frac{5}{27}+m＞1$；
∴$m＞\frac{22}{27}$；
∴滿足條件的m的范圍為$（\frac{22}{27}，+∞）$．

點評 考查函數極值的概念，及求極值的方法與過程，數形結合的解題方法．