Question

19．（1）已知正數(shù)a，b滿(mǎn)足2a+b≤ab，求證：a+2b≥9．
（2）求證：1，$\sqrt{2}$，3不可能是一個(gè)等差數(shù)列中的三項(xiàng)．

Answer 1

分析 （1）用a表示出b，利用基本不等式得出最小值．
（2）使用反證法證明．

解答 證明：（1）∵2a+b≤ab，∴（a-1）b≥2a，
∵a，b都是正數(shù)，
∴a-1＞0，∴b≥$\frac{2a}{a-1}$．
∴a+2b≥a+$\frac{4a}{a-1}$=a-1+$\frac{4}{a-1}$+5≥9（當(dāng)且僅當(dāng)a-1=$\frac{4}{a-1}$即a=3，b=3時(shí)取等號(hào)）．
（2）假設(shè)1，$\sqrt{2}$，3是一個(gè)公差為d的等差數(shù)列中的三項(xiàng)，
設(shè)$\sqrt{2}$=1+md，3=1+nd，其中m，n均為非零整數(shù)．
∴$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$=$\frac{m}{n}$，
∵$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$是無(wú)理數(shù)，$\frac{m}{n}$是有理數(shù)，
∴$\frac{\sqrt{2}-1}{2}≠\frac{m}{n}$，與$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$=$\frac{m}{n}$矛盾．
∴1，$\sqrt{2}$，3不可能是一個(gè)等差數(shù)列中的三項(xiàng)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式證明，反證法證明，屬于基礎(chǔ)題．