Question

12．已知向量$\overrightarrow m=（cos\frac{x}{3}，\sqrt{3}cos\frac{x}{3}）$，$\overrightarrow n=（sin\frac{x}{3}，cos\frac{x}{3}）$，$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$．
 （Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）如果先將f（x）的圖象向左平移φ（φ＞0）個(gè)單位，再保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的$\frac{1}{3}$倍，得到函數(shù)g（x）的圖象，若g（x）為偶函數(shù)，求φ的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知及平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)可得解析式f（x）=$sin（\frac{2x}{3}+\frac{π}{3}）+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
由$2kπ-\frac{π}{2}≤\frac{2x}{3}+\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}$，得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，由$2kπ+\frac{π}{2}≤\frac{2x}{3}+\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{3π}{2}$，得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律可得g（x），由為偶函數(shù)，可得：$\frac{2}{3}φ+\frac{π}{3}=kπ+\frac{π}{2}$，結(jié)合φ＞0，即可解得φ的最小值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow m=（cos\frac{x}{3}，\sqrt{3}cos\frac{x}{3}）$，$\overrightarrow n=（sin\frac{x}{3}，cos\frac{x}{3}）$，$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$．
∴$f（x）=cos\frac{x}{3}sin\frac{x}{3}+\sqrt{3}{cos^2}\frac{x}{3}=\frac{1}{2}sin\frac{2x}{3}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos\frac{2x}{3}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=$sin（\frac{2x}{3}+\frac{π}{3}）+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，…（2分）
由$2kπ-\frac{π}{2}≤\frac{2x}{3}+\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}$，得$3kπ-\frac{5π}{4}≤x≤3kπ+\frac{π}{4}\;\;（k∈Z）$，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$[3kπ-\frac{5π}{4}，3kπ+\frac{π}{4}]\;\;（k∈Z）$，…（4分）
由$2kπ+\frac{π}{2}≤\frac{2x}{3}+\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{3π}{2}$，得$3kπ+\frac{π}{4}≤x≤3kπ+\frac{7π}{4}\;\;（k∈Z）$，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$[3kπ+\frac{π}{4}，3kπ+\frac{7π}{4}\;]\;（k∈Z）$，…（6分）
（Ⅱ）由題意圖象變換，得$g（x）=sin（2x+\frac{2}{3}φ+\frac{π}{3}）+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，…（8分）
∵g（x）是偶函數(shù)，∴$\frac{2}{3}φ+\frac{π}{3}=kπ+\frac{π}{2}$，$φ=\frac{3kπ}{2}+\frac{π}{4}，k∈Z$，…（10分）
∵φ＞0，
∴當(dāng)k=0時(shí)，φ有最小值$\frac{π}{4}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．