Question

13．已知A（a，0）（a＞0），B（0，a），E（-4，0），F(xiàn)（0，4），設(shè)△AOB的外接圓圓心為C，點P在圓C上，使△PEF的面積為12的點P有且只有兩個，則實數(shù)a的取值范圍是（2，10）．

Answer 1

分析 由題意和截距式方程求出直線EF的方程，根據(jù)A、B的坐標(biāo)和△AOB為等腰直角三角形，求出它的外接圓圓心C的坐標(biāo)、半徑，由點到直線的距離公式求出C到直線EF的距離，由△PEF的面積為12求出點P到直線的距離，畫出圖象，根據(jù)圖象畫出臨界線，分別求出a的值，結(jié)合圖象求出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵E（-4，0）、F（0，4），
∴直線EF方程為x-y+4=0，
∵A（a，0）（a＞0），B（0，a），
∴△AOB的外接圓圓心為C（$\frac{a}{2}$，$\frac{a}{2}$），
半徑r=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，
∴圓心C的軌跡方程是y=x（x＞0），圖中的紅色虛線，
且圓心C到直線EF的距離為$\frac{|\frac{a}{2}-\frac{a}{2}+4|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，
由E（-4，0）、E（0，4）得|EF|═4$\sqrt{2}$，
設(shè)P到直線CD的距離為d，
則△PCD的面積S=$\frac{1}{2}$|CD|×d=12，
即$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{2}$×d=12，解得d=3$\sqrt{2}$，
如圖所示：
過M、N與直線EF平行，與⊙C相切，且點M、N到直線EF的距離是3$\sqrt{2}$，
則△PEF的面積為12的點P分別是三個、一個，
且2$\sqrt{2}$+3$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$或2$\sqrt{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}a$=3$\sqrt{2}$，解得a=10或a=2，
因此，當(dāng)2＜a＜10時使△PEF的面積等于12的點P有且只有兩個，
所以實數(shù)a的取值范圍是（2，10），
故答案為：（2，10）．

點評 本題直線與圓的位置關(guān)系，直線與圓的方程，點到直線的距離公式，以及數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．