Question

12．已知橢圓的對稱軸為坐標軸，離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，短軸長為6，求橢圓的標準方程．

Answer 1

分析 當焦點在x軸上時，設(shè)橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{2b=6}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解出即可得出；當焦點在y軸上時，同理可得橢圓的標準方程．

解答 解：當焦點在x軸上時，設(shè)橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{2b=6}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=6，b=3，
可得橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1．
當焦點在y軸上時，同理可得橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{36}$=1．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．