Question

4．設S_n為等差數列{a_n}的前n項和，若S_n=$\frac{n}{m}，{S_m}=\frac{m}{n}（{m≠n}）$，則S_m+n的取值范圍是（4，+∞）．

Answer 1

分析 首先設出等差數列的前n項和S_n=An²+Bn，由已知S_n=$\frac{n}{m}，{S_m}=\frac{m}{n}（{m≠n}）$，列式求出A，B，代入S_m+n=$\frac{（m+n）^{2}}{mn}$，利用基本不等式得到S_n+m的范圍，則答案可求．

解答 解：∵{a_n}是等差數列，
∴設S_n=An²+Bn，
∵S_n=$\frac{n}{m}，{S_m}=\frac{m}{n}（{m≠n}）$，
∴An²+Bn=$\frac{n}{m}$，Am²+Bm=$\frac{m}{n}$，
故B=0，A=$\frac{1}{mn}$．
∴S_m+n=$\frac{（m+n）^{2}}{mn}$＞$\frac{4mn}{mn}$=4，
∴S_m+n的取值范圍是（4，+∞）．
故答案為：（4，+∞）．

點評 本題考查了等差數列的前n項和，解答此題的關鍵是明確等差數列前n項和的形式，是基礎題．