Question

1．已知四棱錐的底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱長都等于$\sqrt{11}$，其俯視圖如圖所示．
（I）作出該四棱錐的側(cè)視圖，注明各線段的長，并計算該側(cè)視圖的面積；
（Ⅱ）求這個四棱錐的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得到四棱錐S-ABCD中SA=SB=SC=SD=$\sqrt{11}$，AB=BC=CD=DA=2，取AD中點E，取BC中點F，AC∩BD=O，連結(jié)SE、SF、SO，則$SE=SF=\sqrt{11-1}$=$\sqrt{10}$，SO=$\sqrt{10-1}$=3，從而得到該四棱錐的側(cè)視圖是腰為$\sqrt{10}$，底為2，高為3的等腰三角形，由此能求出側(cè)視圖的面積．
（Ⅱ）先求出這個四棱錐的底面積和高，由此能求出這個四棱錐的體積．

解答 解：（Ⅰ）∵四棱錐的底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱長都等于$\sqrt{11}$，
其俯視圖如右圖，
∴該四棱錐為如圖所示的四棱錐S-ABCD，
其中SA=SB=SC=SD=$\sqrt{11}$，AB=BC=CD=DA=2，
取AD中點E，取BC中點F，AC∩BD=O，
連結(jié)SE、SF、SO，
則$SE=SF=\sqrt{11-1}$=$\sqrt{10}$，SO=$\sqrt{10-1}$=3，
∴該四棱錐的側(cè)視圖是腰為$\sqrt{10}$，底為2，高為3的等腰三角形，如下圖：

該側(cè)視圖的面積S=$\frac{1}{2}×2×3$=3．
（Ⅱ）∵這個四棱錐的底面積S_ABCD=2×2=4，高SO=3，
∴這個四棱錐的體積：
V=$\frac{1}{3}×{S}_{ABCD}×SO$
=$\frac{1}{3}×4×3$
=4．

點評 本題考查四棱錐的側(cè)視圖的作法及側(cè)視圖的面積的求法，考查四棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．