Question

2．若對于任意實數(shù)x∈[3，2010]，任意實數(shù)t∈[1，2]，不等式（x+$\frac{9}{x}$）+（2t²-t-m）≥0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 分別構造函數(shù)f（x）=x+$\frac{9}{x}$，g（t）=-2t²+t+m，由題意轉化為f（x）_min＞g（t）_max，利用導數(shù)求出f（x）_min，利用二次函數(shù)的性質求出g（t）_max，問題得以解決．

解答 解：（x+$\frac{9}{x}$）+（2t²-t-m）≥0，
∴x+$\frac{9}{x}$≥-2t²+t+m，
分別設f（x）=x+$\frac{9}{x}$，g（t）=-2t²+t+m，
∵對于任意實數(shù)x∈[3，2010]，任意實數(shù)t∈[1，2]，不等式（x+$\frac{9}{x}$）+（2t²-t-m）≥0恒成立，
∴對于任意實數(shù)x∈[3，2010]，任意實數(shù)t∈[1，2]，f（x）_min≥g（t）_max，
∴f′（x）=1-$\frac{9}{{x}^{2}}$，
∴當x∈[3，2010]，f′（x）≥0恒成立，
∴f（x）在[3，2010]為增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（3）=3+3=6，
∵g（t）=-2t²+t+m，開口向下，對稱軸為t=$\frac{1}{4}$，
∴g（t）在[1，2]為減函數(shù)，
∴g（t）_max=g（1）=-2+1+m=m-1，
∴6≥m-1，
∴m≤7，
∴實數(shù)m的取值范圍為（-∞，7]

點評 本題考查函數(shù)的性質和函數(shù)恒成立問題的應用，考查化歸與轉化的數(shù)學思想，培養(yǎng)學生的抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識．