Question

15．已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上，當(dāng)正三棱錐的體積最大時(shí)，該正三棱錐的高為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)三棱柱的底面邊長(zhǎng)為a，用a表示三棱柱的底面邊長(zhǎng)和高，得出三棱柱的體積關(guān)于a的函數(shù)V（a），求出V的極大值點(diǎn)，計(jì)算棱柱的高．

解答 解：設(shè)正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為a，則底面中心O到A的距離為OA=$\frac{\sqrt{3}a}{2}×\frac{2}{3}$=$\frac{\sqrt{3}a}{3}$．
∴棱柱的高h(yuǎn)=2$\sqrt{{r}^{2}-O{A}^{2}}$=2$\sqrt{1-\frac{{a}^{2}}{3}}$．
∴正三棱柱的體積V=S_△ABC•h=$\frac{\sqrt{3}{a}^{2}}{4}×2\sqrt{1-\frac{{a}^{2}}{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$$\sqrt{{a}^{4}（1-\frac{{a}^{2}}{3}）}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}}{2}•\frac{{a}^{2}}{2}•（3-{a}^{2}）}$≤1．
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{{a}^{2}}{2}=\frac{{a}^{2}}{2}=3-{a}^{2}$即a=$\sqrt{2}$時(shí)取等號(hào)．
此時(shí)h=2$\sqrt{1-\frac{{a}^{2}}{3}}$=2$\sqrt{\frac{1}{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了棱柱與外接球的關(guān)系，棱柱的體積計(jì)算，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．