Question

9．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足S_n=2（a_n-1）．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{（{a}_{n}-1）（{a}_{n+2}-1）}$，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，證明：T_n＜$\frac{8}{9}$．

Answer 1

分析 （1）由S_n=2（a_n-1），得S_n-1=2（a_n-1-1），兩式相減，a_n=2a_n-2a_n-1，從而得到{a_n}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，由此能求出{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{（{a}_{n}-1）（{a}_{n+2}-1）}$=$\frac{{2}^{n+1}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+2}-1）}$=$\frac{2}{3}$（$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+2}-1}$），利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n，從而證明T_n＜$\frac{8}{9}$．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足S_n=2（a_n-1），①
∴a₁=S₁=2（a₁-1），
解得a₁=2，
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=2（a_n-1-1），②
①-②，得：a_n=2a_n-2a_n-1，n≥2，
整理，得a_n=2a_n-1，n≥2，
∴{a_n}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，
∴${a}_{n}={2}^{n}$．
證明：（2）b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{（{a}_{n}-1）（{a}_{n+2}-1）}$=$\frac{{2}^{n+1}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+2}-1）}$=$\frac{2}{3}$（$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+2}-1}$），
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和：
T_n=$\frac{2}{3}$（1-$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{3}-\frac{1}{15}$+$\frac{1}{7}-\frac{1}{31}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-2}-1}-\frac{1}{{2}^{n}-1}$+$\frac{1}{{2}^{n-1}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1-1}}$+$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+2}-1}$）
=$\frac{2}{3}$（1+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}-\frac{1}{{2}^{n+2}-1}$）
=$\frac{8}{9}$-$\frac{2}{3}（\frac{1}{{2}^{n+1}-1}+\frac{1}{{2}^{n+2}-1}）$＜$\frac{8}{9}$．
∴T_n＜$\frac{8}{9}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和小于$\frac{8}{9}$的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)法的合理運(yùn)用．