Question

9．己知函數(shù)f（x）=k3^-x-3^x是定義域為R的奇函數(shù)．
（1）求實數(shù)k值；
（2）試判斷f（x）單調(diào)性，并求使不等式f（x²+tx）+f（4-x）＞0對任意x∈（1，2）都成立的實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，利用f（0）=0進(jìn)行求解即可．
（2）求出函數(shù)的解析式，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，構(gòu)造二次函數(shù)，利用根的分布建立不等式關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)的定義域是（-∞，+∞），
∴若f（x）是奇函數(shù)，則f（0）=0，即f（0）=k•3⁰-3⁰=k-1=0，
則k=1．
（2）∵k=1，∴f（x）=3^-x-3^x，
∵y=3^-x是減函數(shù)，y=3^x是增函數(shù)，
∴f（x）=3^-x-3^x是減函數(shù)，
則不等式f（x²+tx）+f（4-x）＞0等價為f（x²+tx）＞-f（4-x）=f（x-4）對任意x∈（1，2）都成立，
即x²+tx＜x-4，對任意x∈（1，2）都成立，
則x²+（t-1）x+4＜0，對任意x∈（1，2）都成立，
設(shè)g（x）=x²+（t-1）x+4，
則等價為$\left\{\begin{array}{l}{g（1）≤0}\\{g（2）≤0}\\{-\frac{t-1}{2}＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{t+4≤0}\\{6+2t≤0}\\{t-1＜0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{t≤-4}\\{t≤-3}\\{t＜1}\end{array}\right.$，
即t≤-4．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)以及不等式恒成立問題，根據(jù)條件構(gòu)造一元二次函數(shù)，利用根的分布與不等式之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．