Question

20．函數(shù)f（x）=sin2x•cos（α-$\frac{π}{4}$）+（1-2sin²x）•sin（α-$\frac{π}{4}$）．
（1）若α∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，x∈[0，$\frac{π}{2}$]，求f（x）的最大值；
（2）是否存在實(shí)數(shù)x與α，使得f（x）=2-cosα成立？若存在，請給出一組，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）化簡可得f（x）=sin（2x+α-$\frac{π}{4}$），由角的范圍可得最值；
（2）當(dāng)x=$\frac{3π}{8}$且α=0時(shí)，滿足題意．

解答 解：（1）化簡可得f（x）=sin2x•cos（α-$\frac{π}{4}$）+（1-2sin²x）•sin（α-$\frac{π}{4}$）
=sin2x•cos（α-$\frac{π}{4}$）+cos2x•sin（α-$\frac{π}{4}$）=sin（2x+α-$\frac{π}{4}$），
∵α∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x+α-$\frac{π}{4}$∈[0，$\frac{5π}{4}$]，
∴當(dāng)2x+α-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$時(shí)，f（x）取最大值1；
（2）當(dāng)x=$\frac{3π}{8}$且α=0時(shí)，f（x）=f（$\frac{3π}{8}$）=sin（$\frac{3π}{4}$+0-$\frac{π}{4}$）=1，
此時(shí)2-cosα=2-cos0=2-1=1，滿足f（x）=2-cosα成立．

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)的恒等變換，涉及三角函數(shù)的最值，屬基礎(chǔ)題．