Question

9．在長方體OABC-O₁A₁B₁C₁中，OA=2，AB=3，AA₁=2，E是BC的中點，求直線AO₁與B₁E所成的角的余弦值．

Answer 1

分析 以O(shè)為原點，OA為x軸，OC為y軸，OO₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線AO₁與B₁E所成的角的余弦值．

解答 解：以O(shè)為原點，OA為x軸，OC為y軸，OO₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
A（2，0，0），O₁（0，0，2），B₁（2，3，2），E（1，3，0），
$\overrightarrow{A{O}_{1}}$=（-2，0，2），$\overrightarrow{{B}_{1}E}$=（-1，0，-2），
設(shè)直線AO₁與B₁E所成的角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{A{O}_{1}}•\overrightarrow{{B}_{1}E}|}{|\overrightarrow{A{O}_{1}}|•|\overrightarrow{{B}_{1}E}|}$=$\frac{|2+0-4|}{\sqrt{8}•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
∴直線AO₁與B₁E所成的角的余弦值為：$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

點評 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．