Question

14．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦點在圓x²+y²=4上，過橢圓的左頂點傾斜角為$\frac{π}{3}$的直線與圓x²+y²=4相切，則橢圓的離心率（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{4}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 由圓x²+y²=4，令y=0，解得x，可得橢圓的焦點，可得c．過橢圓的左頂點傾斜角為$\frac{π}{3}$的直線方程為：y=$\sqrt{3}$（x+a），由于此直線與圓x²+y²=4相切，利用直線與圓相切的充要條件即可得出．

解答 解：由圓x²+y²=4，令y=0，解得x=±2，
可得橢圓的焦點（±2，0），∴c=2．
過橢圓的左頂點傾斜角為$\frac{π}{3}$的直線方程為：y=$\sqrt{3}$（x+a），
∵此直線與圓x²+y²=4相切，
∴$\frac{|\sqrt{3}a|}{\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}}$=2，解得a=$\frac{4}{\sqrt{3}}$．
∴橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故選：B．

點評 本題考查了橢圓與圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與圓相切的充要條件、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．