Question

12．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知$\frac{a+b}{a}$=$\frac{sinB}{sinB-sinA}$，且cos（A-B）+cosC=1-cos2C．
（1）試確定△ABC的形狀；
（2）求$\frac{a+\sqrt{3}c}$的范圍．

Answer 1

分析 （1）利用和差化積公式和二倍角公式對cos2C+cosC=1-cos（A-B）整理求得sinAsinB=sin²C，利用正弦定理換成邊的關(guān)系，同時利用正弦定理把（b+a）（sinB-sinA）=asinB角的正弦轉(zhuǎn)化成邊的問題，然后聯(lián)立方程求得b²=a²+c²，推斷出三角形為直角三角形．
（2）利用正弦定理化簡所求式子，將C的度數(shù)代入，用A表示出B，整理后利用余弦函數(shù)的值域即可確定出范圍．

解答 解：（1）由$\frac{a+b}{a}$=$\frac{sinB}{sinB-sinA}$，可得cos2C+cosC=1-cos（A-B），
得cosC+cos（A-B）=1-cos2C，cos（A-B）-cos（A+B）=2sin²C，
即sinAsinB=sin²C，根據(jù)正弦定理，ab=c²，①，
又由正弦定理及（b+a）（sinB-sinA）=asinB可知b²-a²=ab，②，由①②得b²=a²+c²，
所以△ABC是直角三角形，且B=90°；
（2）由正弦定理化簡$\frac{a+\sqrt{3}c}$=$\frac{sinA+\sqrt{3}sinC}{sinB}$=sinA+$\sqrt{3}$sinC=sinA+$\sqrt{3}$cosA=2sin（A+60°），
∵$\frac{1}{2}$＜sin（A+60°）≤1，A∈（0，$\frac{π}{2}$）即1＜2sin（A+60°）≤2，
則$\frac{a+\sqrt{3}c}$的取值范圍是（1，2]．

點評 本題主要考查了三角形的形狀的判斷，正弦定理的應(yīng)用．考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題．