Question

17．設(shè)函數(shù)f（x）=x1nx+ax²（a∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，求實數(shù)a的最大值；
（2）設(shè)F（x）=f（x）-xlnx-[f′（x）-2ax]，試討論F（x）的零點的個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）若f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，則f′（x）=1nx+1+2ax≤0在（0，+∞）上恒成立，即a≤$-\frac{lnx+1}{2x}$在（0，+∞）上恒成立，構(gòu)造函數(shù)h（x）=$-\frac{lnx+1}{2x}$，利用導數(shù)法，求出其最小值，可得答案；
（2）求出F（x）的解析式，并求導，對a分類討論，分析函數(shù)零點的個數(shù)，綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答 解：（1）∵f（x）=x1nx+ax²在（0，+∞）上為減函數(shù)，
∴f′（x）=1nx+1+2ax≤0在（0，+∞）上恒成立，
即a≤$-\frac{lnx+1}{2x}$在（0，+∞）上恒成立，
令h（x）=$-\frac{lnx+1}{2x}$，則h′（x）=$\frac{lnx}{2{x}^{2}}$，
當x∈（0，1）時，h′（x）＜0，h（x）為減函數(shù)，
當x∈（1，+∞）時，h′（x）＞0，h（x）為增函數(shù)，
故當x=1時，h（x）取最小值-$\frac{1}{2}$，
故實數(shù)a的最大值為-$\frac{1}{2}$；
（2）∵F（x）=f（x）-xlnx-[f′（x）-2ax]=x1nx+ax²-xlnx-[1nx+1+2ax-2ax]=ax²-1nx-1，
則F′（x）=2ax-$\frac{1}{x}$=$\frac{2{ax}^{2}-1}{x}$，
當a≤0時，F(xiàn)′（x）＜0恒成立，F(xiàn)（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，
此時函數(shù)有且只有一個零點；
當a＞0時，令F′（x）=0，則x=$\sqrt{\frac{1}{2a}}$，
當x∈（0，$\sqrt{\frac{1}{2a}}$）時，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）為減函數(shù)，
當x∈（$\sqrt{\frac{1}{2a}}$，+∞）時，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）為增函數(shù)，
故當x=$\sqrt{\frac{1}{2a}}$時，F(xiàn)（x）取最小值$\frac{1}{2}$（ln2a-1），
若$\frac{1}{2}$（ln2a-1）≥0，即a≥$\frac{1}{2}$e時，函數(shù)有且只有一個零點；
若$\frac{1}{2}$（ln2a-1）＜0，即0＜a＜$\frac{1}{2}$e時，函數(shù)有且只有兩個零點；
綜上所述：當a≤0或a≥$\frac{1}{2}$e時，函數(shù)有且只有一個零點；當0＜a＜$\frac{1}{2}$e時，函數(shù)有且只有兩個零點；

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的零點，導數(shù)法確定函數(shù)的單調(diào)性，導數(shù)法確定函數(shù)的最值，難度中檔．