Question

7．在△ABC中，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=3，△ABC的面積S∈[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$]，則角B的取值范圍是[$\frac{3π}{4}$，$\frac{5π}{6}$]．

Answer 1

分析 由已知條件，$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{BC}|•（-cosB）=3$，${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{BC}|sinB$$∈[\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{3}{2}]$，這樣便可得到$tanB∈[-1，-\frac{\sqrt{3}}{3}]$，根據(jù)正切函數(shù)在$（\frac{π}{2}，π）$上的單調(diào)性便可得出角B的取值范圍．

解答 解：根據(jù)條件：$-|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{BC}|cosB=3$；
∴$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{BC}|=-\frac{3}{cosB}$；
△ABC的面積S$∈[\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{3}{2}]$；
∴$\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{BC}|sinB∈[\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{3}{2}]$；
∴$-\frac{3}{2}tanB∈[\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{3}{2}]$；
∴$tanB∈[-1，-\frac{\sqrt{3}}{3}]$；
∴$B∈[\frac{3π}{4}，\frac{5π}{6}]$；
∴角B的取值范圍為[$\frac{3π}{4}，\frac{5π}{6}$]．
故答案為：[$\frac{3π}{4}，\frac{5π}{6}$]．

點(diǎn)評 考查數(shù)量積的計(jì)算公式，三角形的面積公式，三角形內(nèi)角的范圍，以及正切函數(shù)的單調(diào)性．