Question

19．若拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A（3，2）在拋物線開口內(nèi)，點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)△APF的周長(zhǎng)最小時(shí)，△APF的面積為1，則|PF|=（　�。�

• A． 1
• B． $\frac{3}{2}$
• C． 2
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 設(shè)點(diǎn)P在準(zhǔn)線上的射影為D，則根據(jù)拋物線的定義可知|PF|=|PD|進(jìn)而把問題轉(zhuǎn)化為求|PA|+|PD|取得最小，推斷出當(dāng)D，P，A三點(diǎn)共線時(shí)|PA|+|PD|最小，利用△APF的面積為1，求出P的坐標(biāo)，答案可得．

解答 解：設(shè)點(diǎn)P在準(zhǔn)線上的射影為D，則根據(jù)拋物線的定義可知|PF|=|PD|
∴△APF的周長(zhǎng)最小，|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD|取得最小
當(dāng)D，P，A三點(diǎn)共線時(shí)|PA|+|PD|最小，
設(shè)P（x，2），則
∵△APF的面積為1，
∴$\frac{1}{2}×（3-x）×2$=1，
∴x=2，
∴P（2，2）．
代入拋物線的方程可得p=1，
∴|PF|=2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．