Question

19．已知函數(shù)f（x）=a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$是奇函數(shù)（a∈R）．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）求函數(shù)y=f（x）的值域；
（3）試判斷函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）利用f（x）是奇函數(shù)，f（-x）=-f（x），即可求實數(shù)a的值；
（2）f（x）=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，即可求函數(shù)y=f（x）的值域；
（3）利用單調(diào)性定義證明結(jié)論．

解答 解：（1）由題意可得：f（x）=$\frac{a•{2}^{x}+a-2}{{2}^{x}+1}$
∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x）
即$\frac{a•{2}^{-x}+a-2}{{2}^{-x}+1}$=-$\frac{a•{2}^{x}+a-2}{{2}^{x}+1}$
∴a-2=-a，即a=1
即f（x）=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$；                             （3分）
（2）f（x）=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，${2^x}+1＞1∴\frac{2}{{{2^x}+1}}∈（{0，2}）$，∴f（x）∈（-1，1）（6分）
（3）設(shè)x₁，x₂為區(qū)間（-∞，+∞）內(nèi)的任意兩個值，且x₁＜x₂，
則0＜${2}^{{x}_{1}}$＜${2}^{{x}_{2}}$，${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$＜0，
∵f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$＜0
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）是（-∞，+∞）上的增函數(shù)．（12分）

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、指數(shù)函數(shù)的運算，考查了計算能力，屬于中檔題．