Question

17．數(shù)列{a_n}中，a₁=1，（n-1）a_n-na_n-1=2n（n-1）（n≥2）．
（1）證明{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是等差數(shù)列并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）證明：$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$＜$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）將條件兩邊除以n（n-1），再由等差數(shù)列的定義和通項公式即可得到所求；
（2）求得當n≥3時，$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{n（2n-1）}$=$\frac{2}{2n（2n-1）}$＜$\frac{1}{2n-3}$-$\frac{1}{2n-1}$，再由放縮法和裂項相消求和，即可得證．

解答 解：（1）證明：由（n-1）a_n-na_n-1=2n（n-1），
可得$\frac{{a}_{n}}{n}$-$\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$=2，
即有數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，
可得$\frac{{a}_{n}}{n}$=1+2（n-1）=2n-1，
即有a_n=n（2n-1）；
（2）證明：當n≥3時，$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{n（2n-1）}$=$\frac{2}{2n（2n-1）}$
＜$\frac{1}{2n-3}$-$\frac{1}{2n-1}$，
則$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{6}$+$\frac{2}{6•5}$+…+$\frac{2}{2n（2n-1）}$
＜1+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2n-3}$-$\frac{1}{2n-1}$
=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2n-1}$＜$\frac{3}{2}$．
則有$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$＜$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項的求法，注意運用等差數(shù)列的定義和通項公式，考查數(shù)列不等式的證明，注意運用放縮法，屬于中檔題．