Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{4-x}+{log_3}$（x-2）的定義域為集合A，函數(shù)$g（x）={log_2}x，（\frac{1}{4}≤x≤8）$的值域為集合B．
（1）求A∪B；
（2）若集合C={x|a≤x≤3a-1}，且B∩C=C，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出集合A={x|2＜x≤4}，B={x|-2≤x≤3}，再直接取它們的并集；
（2）問題等價為C⊆B，再對集合C分類討論，得出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解（1）函數(shù)f（x）的自變量x需滿足條件$\left\{\begin{array}{l}{4-x≥0}\\{2-x＞0}\end{array}\right.$，
解得，2＜x≤4，所以，A={x|2＜x≤4}，
對于函數(shù)g（x），因為$\frac{1}{4}$≤x≤8，
所以，g（x）=log₂x∈[-2，3]，
因此，B={x|-2≤x≤3}，
所以，A∪B={x|-2≤x≤4}；
（2）由B∩C=C得，C⊆B，對集合C討論如下：
①當(dāng)C=∅時，a＞3a-1，解得a＜$\frac{1}{2}$，
因為空集是任何集合的子集，故符合題意；
②當(dāng)C≠∅時，需要滿足下列條件：
$\left\{\begin{array}{l}{a≤3a-1}\\{a≥-2}\\{3a-1≤3}\end{array}\right.$，解得，$\frac{1}{2}$≤a≤$\frac{4}{3}$，
綜合以上討論得，實數(shù)a的取值范圍為：（-∞，$\frac{4}{3}$]．

點評 本題主要考查了交集及其運算，對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及空集的性質(zhì)，體現(xiàn)了分類討論的解題思想，屬于中檔題．