Question

5．用數(shù)學(xué)歸納法證明斐波拉契數(shù)列的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 驗(yàn)證n=1、2時(shí)命題成立，然后假設(shè)對(duì)一般的n=1，2，3，4，…k時(shí)命題成立，由歸納假設(shè)，結(jié)合a_k+1=a_k+a_k-1，證明n=k+1時(shí)命題成立．

解答 證明：${a}_{n}=\frac{1}{\sqrt{5}}[（\frac{1+\sqrt{5}}{2}）^{n}-（\frac{1-\sqrt{5}}{2}）^{n}]$．
當(dāng)n=1時(shí)，${a}_{1}=\frac{1}{\sqrt{5}}[\frac{1+\sqrt{5}}{2}-\frac{1-\sqrt{5}}{2}]=1$，
當(dāng)n=2時(shí)，${a}_{2}=\frac{1}{\sqrt{5}}[（\frac{1+\sqrt{5}}{2}）^{2}-（\frac{1-\sqrt{5}}{2}）^{2}]$=$\frac{1}{\sqrt{5}}[\frac{6+2\sqrt{5}}{4}-\frac{6-2\sqrt{5}}{4}]=1$；
假設(shè)對(duì)一般的n=1，2，3，4，…k時(shí)命題成立，那么當(dāng)n=k+1時(shí)：
a_k+1=a_k-1+a_k=$\frac{1}{\sqrt{5}}[（\frac{1+\sqrt{5}}{2}）^{k-1}-（\frac{1-\sqrt{5}}{2}）^{k-1}]$$+\frac{1}{\sqrt{5}}[（\frac{1+\sqrt{5}}{2}）^{k}-（\frac{1-\sqrt{5}}{2}）^{k}]$
=$\frac{1}{\sqrt{5}}[（\frac{1+\sqrt{5}}{2}）^{k-1}（1+\frac{1+\sqrt{5}}{2}）-（\frac{1-\sqrt{5}}{2}）^{k-1}（1+\frac{1-\sqrt{5}}{2}）]$
=$\frac{1}{\sqrt{5}}[（\frac{1+\sqrt{5}}{2}）^{k-1}•\frac{3+\sqrt{5}}{2}-（\frac{1-\sqrt{5}}{2}）^{k-1}•\frac{3-\sqrt{5}}{2}]$
=$\frac{1}{\sqrt{5}}[（\frac{1+\sqrt{5}}{2}）^{k-1}（\frac{1+\sqrt{5}}{2}）^{2}-（\frac{1-\sqrt{5}}{2}）^{k-1}（\frac{1-\sqrt{5}}{2}）^{2}]$
=$\frac{1}{\sqrt{5}}[（\frac{1+\sqrt{5}}{2}）^{k+1}-（\frac{1-\sqrt{5}}{2}）^{k+1}]$．
綜上，命題對(duì)于任意的n∈N^*都成立．
即斐波拉契數(shù)列的通項(xiàng)公式為${a}_{n}=\frac{1}{\sqrt{5}}[（\frac{1+\sqrt{5}}{2}）^{n}-（\frac{1-\sqrt{5}}{2}）^{n}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列不等式，證明該題的關(guān)鍵是保證基礎(chǔ)，即需驗(yàn)證n=1、2成立，是中檔題．