Question

8．已知函數(shù)f（x）=x²-x+k，且滿足log₂f（a）=2，f（log₂a）=k（a≠1）．
（1）求log₂f（x）的最小值及對(duì)應(yīng)的x的值；
（2）x為何值時(shí)，f（log₂x）＞f（1）且log₂f（x）＜f（1）

Answer 1

分析 （1）由已知中f（x）=x²-x+k，log₂f（a）=2，f（log₂a）=k，可構(gòu)造關(guān)于a，k的對(duì)數(shù)方程，根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可將其化為整式方程，解答后可得a，k值；再由二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得答案；
（2）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分別求解f（log₂x）＞f（1）和log₂f（x）＜f（1），求其交集，可得答案．

解答 解：（1）∵f（x）=x²-x+k，log₂f（a）=2，f（log₂a）=k
∴$\left\{\begin{array}{l}{log}_{2}（{a}^{2}-a+k）=2\\{log}_{2}a=1或{log}_{2}a=0\end{array}\right.$，
解得：a=2，k=2，
∴函數(shù)f（x）=x²-x+2在x=$\frac{1}{2}$時(shí)最小值$\frac{7}{2}$，
∴l(xiāng)og₂f（x）的最小值為log₂$\frac{7}{2}$=log₂7-1；
（2）∵f（x）=x²-x+2，
∴f（1）=f（0）=2，
若f（log₂x）＞f（1），則log₂x＞1，或log₂x＜0，即x∈（0，1）∪（2，+∞），
若log₂f（x）＜f（1），log₂f（x）＜2，則x²-x+2＜4，即x∈（-1，2），
綜上可得：x∈（0，1）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)數(shù)方程，是函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，難度中檔．